Анатолій Маркевіч нарадзіўся ў 1971 годзе ў вёсцы Громкі Шчучынскага раёна Гродзенскай вобласці.
У 1994-м скончыў Брэсцкі дзяржаўны педагагічны інстытут імя А.С.Пушкіна, а ў 2006-м — Акадэмію кіравання пры Прэзідэнце Рэспублікі Беларусь.
З 1993 года Анатолій Маркевіч пачаў працаваць у сістэме адукацыі ў якасці настаўніка, з 1995 года — дырэктара Прудзянскай базавай школы Шчучынскага раёна. У 1998 — 2002 гадах кіраваў рознымі школамі ў Гродзенскай вобласці.
У 2002-м быў прызначаны намеснікам старшыні Карэліцкага райвыканкама. У 2010-2011 гадах узначальваў Карэліцкі раённы Савет дэпутатаў, працаваў старшынёй Навагрудскага райвыканкама (2011 — 2019 гады).
Да прызначэння міністрам культуры быў памочнікам Прэзідэнта — інспектарам па Брэсцкай вобласці.